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Quelques indications pour un oral de CRPE portant sur la compétence :

Utiliser un tableau ou la “règle de trois” dans des situations très simples de proportionnalité (CM1)

Préparer une séquence à propos de cette compétence suppose évidemment de savoir ce qu'on appelle situation de proportionnalité ainsi que ce qu'on appelle "règle de trois".

Il convient sans doute de donner quelques exemples de ce qu'on choisit d'appeler "situations très simples de proportionnalité" puisque les textes officiels n'en disent mot.

Nous considérons que les problèmes suivants rentrent dans cette catégorie :

Je mets bout à bout des bandes de papier toutes identiques.

Avec 3 bandes, j'obtiens une longueur de 42 cm.

Quelle est la longueur obtenue avec 5 bandes ?

On pèse des billes toutes identiques.

La masse de 12 billes est 100 g.

Quelle est la masse de 30 billes ?

On peut trouver des situations plus simples, par exemple :

Je mets bout à bout des bandes de papier toutes identiques.

Avec 3 bandes, j'obtiens une longueur de 42 cm.

Quelle est la longueur obtenue avec 6 bandes ?

La situation relève de la proportionnalité (la longueur totale est proportionnelle au nombre de bandes) mais les élèves n'ont besoin d'aucun raisonnement spécifique à la proportionnalité pour résoudre le problème, il leur suffit d'imaginer les trois bandes qui mesurent 42 cm suivies de 3 autres bandes qui mesurent également 42 cm.

Ce type de problème pourra évidemment se rencontrer dans la séquence, mais le but que l'on poursuit est plus ambitieux : on veut que les élèves sachent résoudre des problèmes analogues aux deux premiers exemples.

On remarquera que la compétence indiquée fait référence à l'utilisation d'outils (implicitement pour résoudre un problème) et non à des connaissances explicites sur la proportionnalité.

Si les élèves savent résoudre les problèmes ci-dessus sans savoir qu'il s'agit de situation de proportionnalité on peut considérer que l'objectif est atteint.

Expliciter l'idée de proportionnalité aide-il à résoudre les problèmes ? La réponse ne va pas de soi.

On peut apprendre à reconnaître les situations de proportionnalité puis apprendre à résoudre les problèmes qui en relèvent, mais on peut aussi (et cette version nous semble préférable) apprendre à résoudre divers problèmes puis faire remarquer que certains problèmes se résolvent par des méthodes analogues… les problèmes de proportionnalité.

Dans cette optique, on peut même défendre que pour les élèves le terme de proportionnalité peut n'être introduit qu'au collège.

La présentation par le texte officiel du tableau comme étant une méthode introduit des risques considérables.

Le fait d'inscrire les données dans un tableau n'induit aucune méthode de calcul particulière (on peut par exemple utiliser la règle de trois à l'aide d'un tableau) et surtout, le fait que les données soient inscrites dans un tableau n'indique en rien que les grandeurs en jeu sont proportionnelles.

Il est donc nécessaire de rencontrer de temps à autre des tableaux contenant des données sans proportionnalité.

Sous ces réserves, le tableau est un mode d'organisation des données bien pratique.

Le problème :

On pèse des billes toutes identiques.

La masse de 12 billes est 100 g.

Quelle est la masse de 30 billes ?

est représenté de façon simple par le tableau ci-dessous :

Le tableau sert à noter les informations nouvelles que l'on découvre par le calcul.

Voici deux exemples de résolution de ce problème à l'aide du tableau que l'on peut attendre d'élèves de CM1 à la fin de la séquence :

Le raisonnement utilisé pour justifier les résultats du tableau ci-dessus ressemble à ceci :

12 billes pèsent 100 g, alors 24 billes (le double de 12) pèsent 200 g (le poids est doublé).

Si on ajoute encore 12 billes, ça ajoute encore 100 g, 36 billes pèsent 300g.

12 billes pèsent 100 g, alors 6 billes (la moitié de 12) pèsent 50 g (la moitié de 100)

Si on enlève 6 billes de 36 billes ça enlève 50 g, 30 billes pèsent donc 250 g.

Le raisonnement utilisé pour justifier les résultats du tableau ci-dessus ressemble à ceci :

12 billes pèsent 100 g, alors 6 billes (la moitié de 12) pèsent 50 g (la moitié de 100)

6 billes pèsent 50 g alors 3 billes (la moitié de 6) pèsent 25 g (la moitié de 50)

30 billes, c'est 10 fois 3 billes, ça pèsera donc 10 fois 25 g c'est à dire 250 g.

L'important à ce stade n'est pas d'optimiser la procédure. La colonne avec 36 billes du premier tableau est inutile, tout comme celle avec 3 billes du second tableau.

Les raisonnements se font en faisant référence à la situation (on parle des billes et de leur poids), on évite d'introduire des mécanismes non fondés sur le sens du type "on multiplie les deux nombres d'une même colonne par un même nombre".

On remarque que la règle de trois n'est pas utilisable pour ce problème à ce niveau en effet, la masse d'une bille est égale à 25/3 de grammes ce qui introduit plusieurs difficultés :

• La division 25 : 3 n'a pas de quotient décimal exact.
• Pour les élèves de CM1, 25/3 (le trait oblique est utilisé ici à cause de contraintes techniques, avec les élèves on utilise la barre de fraction) signifie 25 tiers, c'est à dire 25 morceaux et non 25 divisé par 3. Seuls les maîtres utilisant la méthode "J'apprends les maths" enseignent dès l'introduction des fractions l'équivalence entre "25 divisé par 3" et "25 tiers"
• Même si on connait l'équivalence entre division et fraction, multiplier 25/3 par 30 ne relève pas des connaissances sur les fractions enseignées à l'élémentaire.

En revanche, pour le problème des bandes, la règle de trois (qui, répétons-le, n'est nullement incompatible avec l'usage d'un tableau) est parfaitement utilisable.

Elle s'énonce alors à peu près ainsi :

3 bandes mesurent 42 cm, donc une bande mesure trois fois moins. 42 cm : 3 = 14 cm

Une bande mesure 14 cm, donc 5 bandes mesurent 5 fois plus. 14 cm x 5 = 70 cm

Il parait judicieux de proposer tout au long de la séquence des problèmes dont les valeurs numériques permettent l'utilisation de la règle de trois et d'autres qui ne la permettent pas.

Il arrive aussi parfois que l'utilisation du coefficient de proportionnalité soit possible :

On a agrandi une figure.

Un segment de 5 cm sur le modèle mesure 15 cm sur l'agrandissement.

Un segment de 3 cm sur le modèle mesure 9 cm sur l'agrandissement.

Un segment mesure 8 cm sur le modèle, combien mesure-t-il sur l'agrandissement ?

Ce problème peut se résoudre de plusieurs façons :

• Pour obtenir 8 cm sur le modèle, on peut mettre bout à bout un segment de 5 cm et un segment de 3 cm. En faisant le dessin correspondant sur l'agrandissement on met bout à bout un segment de 15 cm et un de 9 cm, on obtient une longueur totale de 24 cm.
• Les mesures de la figure agrandie sont trois fois plus grandes que celles du modèle, donc le segment mesure 3 x 8 cm sur l'agrandissement, soit 24 cm.

Cependant, l'utilisation du coefficient de proportionnalité fait plutôt figure d'exception à l'école élémentaire et il convient de privilégier les méthodes relevant de la linéarité (toutes celles exposées plus haut) dont la règle de trois fait partie.

Rappelons pour terminer que les programmes du collège excluent très clairement le produit en croix jusqu'en classe de cinquième. Il ne saurait donc être question de l'utiliser à l'école élémentaire.

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